Hurwitz の定理。
J. H. Conway と D. A. Smith の共著『四元数と八元数』（山田修司訳，培風館）の第6章に，「組成代数は実数，複素数，四元数および八元数だけである」という Hurwitz の定理の証明が記されている。
その驚くべき定理の証明は，たったの5ページ足らずである。
なぜ複素数（二元数）の次は三元数ではなく，四元数なのか。また，八元数の上はなぜ存在しないのか。
四元数や八元数といった『超』複素数が存在することを知って以来，これらの情報は知識としては知っていたものの，証明を学んではいなかった。夏休みということで，長年の疑問に決着をつけようと思い立った次第である。
冒頭に紹介した『四元数と八元数』は比較的あっさりとした記述であるものの，非常に興味深い（だろうと思われる）話題を多数扱っている。Hurwitz の定理の証明もきわめてシンプルだが，それゆえに，極度に研ぎ澄まされた感性を感じる。
Hurwitz のオリジナルの証明がどういったものなのかにも興味があるが，関連する文献として Ebbinghaus 編の『数』の第10章も合わせて読みたいものである。なお，この『数』という本はおそらく日本語訳の出版当初から存在を知っていたものの，たいした内容ではないと勝手に決め付けて，食わず嫌いならぬ「読まず嫌い」で全く中身を見たことがなかった。ところが最近，実数概念の発展史を調べようと思い立ち，もしかするとこの本に何かヒントがあるかもしれないと手に取ったところ，ヒントどころか，答えそのものが書かれているように思われる。詳しく見ていないのでそれ以上のことはわからないが，いずれにせよ，僕にとっては必読書ではないかと期待されるような内容がてんこ盛りのようなのである。
その他，『四元数と八元数』の第1章で，それらの数の発見の歴史について述べた文献が紹介されており，それが web 上で閲読できるので，サイトの URL をここにメモしておく。
HTML 形式のオンラインで読めるサイト。
The Octonions, by John C. Baez
このサイトに貼られた Bulletin of the American Mathematical Society の論文（とその誤植訂正一覧）は無償で PDF ファイルを閲覧できる。参考文献リストに4ページを割いており，それを除いても57ページというなかなかの長編であり，内容も現代の数学や物理学における八元数の理論のさまざまな応用について紹介しているとのことで，読むのは大変そうであるが，ぜひとも挑戦したい論文である。なぜなら，僕が最近関心を寄せつつある量子論理や Jordan 代数，そして特殊相対性理論への応用に触れているとのことだからである。
四元数への興味は，もとはベクトル解析の歴史を学ぼうとしたときに生じたものであるが，それとは全く別の動機から関心を抱いていた Jordan 代数や量子論理とつながりがあるというのは，少し考えてみるといずれも代数の一部門であるから当然のことのようにも思われるが，やはりどこかでつながっているものなのだな，と思いを新たにせずにはいられない。
そう考えると，僕ごときが興味を抱くものはすべて互いに関連があるように思え，何者かの手のひらで遊んでいるというか，何というか，あまりかけ離れたものに関心を持つことが出来ないというような，己の視野の狭さがちょっと気になるところである。そのような狭い世界で生きていくのは，安心と言えば安心なのではあるのだが。
追記：Web 上で閲覧可能な Hurwitz の定理に関するソースを，この記事の続編に記した。(2012/8/19)
その続編の続編もある。(2012/8/21)
その驚くべき定理の証明は，たったの5ページ足らずである。
なぜ複素数（二元数）の次は三元数ではなく，四元数なのか。また，八元数の上はなぜ存在しないのか。
四元数や八元数といった『超』複素数が存在することを知って以来，これらの情報は知識としては知っていたものの，証明を学んではいなかった。夏休みということで，長年の疑問に決着をつけようと思い立った次第である。
冒頭に紹介した『四元数と八元数』は比較的あっさりとした記述であるものの，非常に興味深い（だろうと思われる）話題を多数扱っている。Hurwitz の定理の証明もきわめてシンプルだが，それゆえに，極度に研ぎ澄まされた感性を感じる。
Hurwitz のオリジナルの証明がどういったものなのかにも興味があるが，関連する文献として Ebbinghaus 編の『数』の第10章も合わせて読みたいものである。なお，この『数』という本はおそらく日本語訳の出版当初から存在を知っていたものの，たいした内容ではないと勝手に決め付けて，食わず嫌いならぬ「読まず嫌い」で全く中身を見たことがなかった。ところが最近，実数概念の発展史を調べようと思い立ち，もしかするとこの本に何かヒントがあるかもしれないと手に取ったところ，ヒントどころか，答えそのものが書かれているように思われる。詳しく見ていないのでそれ以上のことはわからないが，いずれにせよ，僕にとっては必読書ではないかと期待されるような内容がてんこ盛りのようなのである。
その他，『四元数と八元数』の第1章で，それらの数の発見の歴史について述べた文献が紹介されており，それが web 上で閲読できるので，サイトの URL をここにメモしておく。
HTML 形式のオンラインで読めるサイト。
The Octonions, by John C. Baez
このサイトに貼られた Bulletin of the American Mathematical Society の論文（とその誤植訂正一覧）は無償で PDF ファイルを閲覧できる。参考文献リストに4ページを割いており，それを除いても57ページというなかなかの長編であり，内容も現代の数学や物理学における八元数の理論のさまざまな応用について紹介しているとのことで，読むのは大変そうであるが，ぜひとも挑戦したい論文である。なぜなら，僕が最近関心を寄せつつある量子論理や Jordan 代数，そして特殊相対性理論への応用に触れているとのことだからである。
四元数への興味は，もとはベクトル解析の歴史を学ぼうとしたときに生じたものであるが，それとは全く別の動機から関心を抱いていた Jordan 代数や量子論理とつながりがあるというのは，少し考えてみるといずれも代数の一部門であるから当然のことのようにも思われるが，やはりどこかでつながっているものなのだな，と思いを新たにせずにはいられない。
そう考えると，僕ごときが興味を抱くものはすべて互いに関連があるように思え，何者かの手のひらで遊んでいるというか，何というか，あまりかけ離れたものに関心を持つことが出来ないというような，己の視野の狭さがちょっと気になるところである。そのような狭い世界で生きていくのは，安心と言えば安心なのではあるのだが。
追記：Web 上で閲覧可能な Hurwitz の定理に関するソースを，この記事の続編に記した。(2012/8/19)
その続編の続編もある。(2012/8/21)
