Ricci-Levi-Civita の記号とスカラー三重積。
プラガーの『連続体力学入門』という本で次のような公式を見かけた。
Levi-Cività（レヴィ＝チヴィタ）のエプシロン（Ricci（リッチ）の名も付けて呼ぶことがある。また，日本の物理関連の文献では Eddington（エディントン）のエプシロンと書かれていることもある。）は次のように定義される関数である。
(i,j,k) が (1,2,3) の偶置換であるとき，つまり (i,j,k)=(1,2,3,), (2,3,1), (3,1,2) のいずれかのとき，ε(i,j,k):=1；
(i,j,k) が (1,2,3) の奇置換であるとき，つまり (i,j,k)=(1,3,2,), (3,2,1), (2,1,3) のいずれかのとき，ε(i,j,k):=-1；
それ以外のとき，ε(i,j,k):=0.
これについて，次が成り立つ。
ε(p,q,r)ε(p,q,r)=6，
ε(p,q,i)ε(p,q,j)=2δ(i,j)，
ε(p,i,j)ε(p,k,l)=δ(i,k)δ(j,l)-δ(i,l)δ(j,k)．
ただし，δ(i,j) は Kronecker のデルタであり，i=j のときのみ 1 に等しく，それ以外では 0 と定義されている。
また，上の各式の左辺では，p, q, r, i, j, k のうち，同じ記号が繰り返し使用されているものについては，1 から 3 までの和をとるものと決めてある。つまり，例えば数列 a(1), a(2), a(3) について
a(i)a(i)=a(1)a(1)+a(2)a(2)+a(3)a(3)=a(1)2+a(2)2+a(3)2
のようにみなす。（これを和の規約 (summation convention) とか Einstein の規約と呼ぶ。）
これらの公式を見通しよく示す方法がきっとあるに違いないと思いつつも，特に思いつかなかったので，地道に検証してみた。
とはいうものの，例えば3番目の公式においては，1 から 3 までの3通りの値を取りうる自由な変数が i, j, k, l の4つもあるので，考えられる組み合わせは全部で 34=81 通りもあるから，実際に検証する場合を減らす工夫は当然行う。けれども，その場合分けの考察やら何やらで，検証し終えるまでに20分くらいかかった。
そういえば似たような問題で頭を悩ませたことがあったなぁと思い出して，大貫義郎『解析力学』（岩波書店）の1章の演習問題を見てみたが，違う問題だった。
本文中に書かれていないか探してみたら，見つからなかったものの，使えそうな別の公式を見つけた。
3次元 Euclid 空間の基本ベクトル e(1)=(1,0,0)，e(2)=(0,1,0)，e(3)=(0,0,1) に対し，
ε(i,j,k)=e(i)・e(j)×e(k)
が成り立つというのがその公式である。このことは少なくとも5年前にちゃんと勉強したはずだったが，全然思い出せなかった。
このように，Levi-Cività のエプシロンが基本ベクトルのスカラー三重積で表せるとなると，エプシロンを「ばらす」，あるいは「展開する」という全く別の種類の計算が可能になる。
さっそく3番目の公式について適用してみたところ，実にうまくいった。
スカラー三重積はサイクリックなベクトルの入れ替えに関して値が不変であることと，ベクトル三重積の展開公式，そして e(1), e(2), e(3) が正規直交基底であるという，いずれもベクトル解析の基本中の基本を使って次のような証明が可能となる。
以下では和の規約は使用しない。
固定された p に対して，
ε(p,i,j)ε(p,k,l)=(e(p)・e(i)×e(j))(e(p)・e(k)×e(l))
であるが，(e(p)・e(i)×e(j)) はスカラーなので，e(p)・e(k)×e(l) の e(p) にかかった係数だとみなしてよい。したがって，
Σp ε(p,i,j)ε(p,k,l)=[Σp (e(p)・e(i)×e(j))e(p)]・(e(k)×e(l))
となるが，一般に3次元のベクトル x が
x=Σp (e(p)・x)e(p)
と成分表示できることを逆に使うと，Σp (e(p)・e(i)×e(j))e(p)=e(i)×e(j) と書き換えることができる。
したがって，
Σp ε(p,i,j)ε(p,k,l)=(e(i)×e(j))・(e(k)×e(l))
となる。この右辺は外積と外積の内積で，いわば「スカラー四重積」と呼ぶべきものの一つだが，これについても有名な展開公式が知られている。ここではその公式を一気に使うのではなく，その証明に該当する，スカラー三重積の性質とベクトル三重積の展開公式を組み合わせた計算によって右辺を展開してみる。
(e(i)×e(j))・(e(k)×e(l))=e(k)・(e(l)×(e(i)×e(j)) 【サイクリックな入れ替えをした。】
=e(k)・{(e(l)・e(j))e(i)-(e(l)・e(i))e(j)} 【ベクトル三重積を展開した。】
=(e(i)・e(k))(e(j)・e(l))-(e(i)・e(l))(e(j)・e(k)).
ここで，e(1), e(2), e(3) が正規直交系であることから，e(i)・e(j)=δ(i,j) が成り立つことを思い起こせば，最後の式が示したかった等式の右辺に他ならないことがわかる。c.q.f.d.
この3番目の公式の右辺はなぜ2つの Kronecker のデルタの積の差になるのか，他の表現も可能ではないかといろいろ気になっていたのだが，上の証明によると，その形で書かれる理由がよくわかるし，その形がきわめて自然なものであるような気もしてくる。
テンソル計算がたくさん出てくる理論は，数学，物理，工学において広大な分野を形成しており，専門家はたくさんいる。そうしたテンソル計算のプロからみると当たり前のやり方かもしれない。
なお，2番目の公式はベクトルによる展開を行っても，それほどエレガントな証明という感じではない。
1番目の公式も，和を取るべき項は結局 1, 2, 3 の順列の総数分である 6 個しかなく，他は全て 0 になるから考えなくてよい。したがって具体的に和を書いてみた方が状況が把握しやすいと思われる。
そういうわけで，エプシロンをスカラー三重積に置き換えて考えるという方法が常に最良だというわけではないが，場合分けが大変になりそうなときに試みてよい方法の一つではあるだろう。
Levi-Cività（レヴィ＝チヴィタ）のエプシロン（Ricci（リッチ）の名も付けて呼ぶことがある。また，日本の物理関連の文献では Eddington（エディントン）のエプシロンと書かれていることもある。）は次のように定義される関数である。
(i,j,k) が (1,2,3) の偶置換であるとき，つまり (i,j,k)=(1,2,3,), (2,3,1), (3,1,2) のいずれかのとき，ε(i,j,k):=1；
(i,j,k) が (1,2,3) の奇置換であるとき，つまり (i,j,k)=(1,3,2,), (3,2,1), (2,1,3) のいずれかのとき，ε(i,j,k):=-1；
それ以外のとき，ε(i,j,k):=0.
これについて，次が成り立つ。
ε(p,q,r)ε(p,q,r)=6，
ε(p,q,i)ε(p,q,j)=2δ(i,j)，
ε(p,i,j)ε(p,k,l)=δ(i,k)δ(j,l)-δ(i,l)δ(j,k)．
ただし，δ(i,j) は Kronecker のデルタであり，i=j のときのみ 1 に等しく，それ以外では 0 と定義されている。
また，上の各式の左辺では，p, q, r, i, j, k のうち，同じ記号が繰り返し使用されているものについては，1 から 3 までの和をとるものと決めてある。つまり，例えば数列 a(1), a(2), a(3) について
a(i)a(i)=a(1)a(1)+a(2)a(2)+a(3)a(3)=a(1)2+a(2)2+a(3)2
のようにみなす。（これを和の規約 (summation convention) とか Einstein の規約と呼ぶ。）
これらの公式を見通しよく示す方法がきっとあるに違いないと思いつつも，特に思いつかなかったので，地道に検証してみた。
とはいうものの，例えば3番目の公式においては，1 から 3 までの3通りの値を取りうる自由な変数が i, j, k, l の4つもあるので，考えられる組み合わせは全部で 34=81 通りもあるから，実際に検証する場合を減らす工夫は当然行う。けれども，その場合分けの考察やら何やらで，検証し終えるまでに20分くらいかかった。
そういえば似たような問題で頭を悩ませたことがあったなぁと思い出して，大貫義郎『解析力学』（岩波書店）の1章の演習問題を見てみたが，違う問題だった。
本文中に書かれていないか探してみたら，見つからなかったものの，使えそうな別の公式を見つけた。
3次元 Euclid 空間の基本ベクトル e(1)=(1,0,0)，e(2)=(0,1,0)，e(3)=(0,0,1) に対し，
ε(i,j,k)=e(i)・e(j)×e(k)
が成り立つというのがその公式である。このことは少なくとも5年前にちゃんと勉強したはずだったが，全然思い出せなかった。
このように，Levi-Cività のエプシロンが基本ベクトルのスカラー三重積で表せるとなると，エプシロンを「ばらす」，あるいは「展開する」という全く別の種類の計算が可能になる。
さっそく3番目の公式について適用してみたところ，実にうまくいった。
スカラー三重積はサイクリックなベクトルの入れ替えに関して値が不変であることと，ベクトル三重積の展開公式，そして e(1), e(2), e(3) が正規直交基底であるという，いずれもベクトル解析の基本中の基本を使って次のような証明が可能となる。
以下では和の規約は使用しない。
固定された p に対して，
ε(p,i,j)ε(p,k,l)=(e(p)・e(i)×e(j))(e(p)・e(k)×e(l))
であるが，(e(p)・e(i)×e(j)) はスカラーなので，e(p)・e(k)×e(l) の e(p) にかかった係数だとみなしてよい。したがって，
Σp ε(p,i,j)ε(p,k,l)=[Σp (e(p)・e(i)×e(j))e(p)]・(e(k)×e(l))
となるが，一般に3次元のベクトル x が
x=Σp (e(p)・x)e(p)
と成分表示できることを逆に使うと，Σp (e(p)・e(i)×e(j))e(p)=e(i)×e(j) と書き換えることができる。
したがって，
Σp ε(p,i,j)ε(p,k,l)=(e(i)×e(j))・(e(k)×e(l))
となる。この右辺は外積と外積の内積で，いわば「スカラー四重積」と呼ぶべきものの一つだが，これについても有名な展開公式が知られている。ここではその公式を一気に使うのではなく，その証明に該当する，スカラー三重積の性質とベクトル三重積の展開公式を組み合わせた計算によって右辺を展開してみる。
(e(i)×e(j))・(e(k)×e(l))=e(k)・(e(l)×(e(i)×e(j)) 【サイクリックな入れ替えをした。】
=e(k)・{(e(l)・e(j))e(i)-(e(l)・e(i))e(j)} 【ベクトル三重積を展開した。】
=(e(i)・e(k))(e(j)・e(l))-(e(i)・e(l))(e(j)・e(k)).
ここで，e(1), e(2), e(3) が正規直交系であることから，e(i)・e(j)=δ(i,j) が成り立つことを思い起こせば，最後の式が示したかった等式の右辺に他ならないことがわかる。c.q.f.d.
この3番目の公式の右辺はなぜ2つの Kronecker のデルタの積の差になるのか，他の表現も可能ではないかといろいろ気になっていたのだが，上の証明によると，その形で書かれる理由がよくわかるし，その形がきわめて自然なものであるような気もしてくる。
テンソル計算がたくさん出てくる理論は，数学，物理，工学において広大な分野を形成しており，専門家はたくさんいる。そうしたテンソル計算のプロからみると当たり前のやり方かもしれない。
なお，2番目の公式はベクトルによる展開を行っても，それほどエレガントな証明という感じではない。
1番目の公式も，和を取るべき項は結局 1, 2, 3 の順列の総数分である 6 個しかなく，他は全て 0 になるから考えなくてよい。したがって具体的に和を書いてみた方が状況が把握しやすいと思われる。
そういうわけで，エプシロンをスカラー三重積に置き換えて考えるという方法が常に最良だというわけではないが，場合分けが大変になりそうなときに試みてよい方法の一つではあるだろう。
