行列の積と行列式。

ふたつの正方行列 A，B について，
det(AB)=(detA)(detB)
という等式が成り立つ。

行列を1次変換の表現行列だと思えば，この関係式が成り立つのは納得しやすい。

アイデアは次の通り。（以下の説明では1次変換と表現行列をきちんと区別していない。）
領域 E の面積は，1次変換 B によって detB 倍になる。
B(E) にさらに1次変換 A を施すと，面積は detA 倍されるから，最終的にもとの面積の (detA)(detB) 倍になる。
一方，1次変換を合成した AB を E に作用させたと考えれば，面積は det(AB) 倍になる。
最終的に得られる図形は同じであるから，面積も同じである。
よって det(AB)=(detA)(detB) が成り立つ「はず」である。

ちなみに，行列の積は，1次変換 f，g の表現行列を A，B とするとき，任意のベクトル X に対して，

(AB)X=(fog)(X)=f(g(X))=A(BX),

すなわち (AB)X=A(BX) が成り立つように定められていることは知っておくとよいだろう。